El estudio de los grafos expansores fue motivado en su inicio por las aplicaciones. Intuitivamente, un grafo expansor es un grafo de gran conectividad, y es particularmente interesante si el número de aristas por vértice es pequeño. Uno puede pensar literalmente en una red de comunicaciones que logra gran desempeño con un número pequeño de cables. 

Hay varias definiciones formales: en términos de las fronteras de conjuntos de vértices (definiremos tales "fronteras"), o de paseos aleatorios, o de valores propios del Laplaciano (donde el "Laplaciano" es análogo al que se utiliza en la física).  Al final son todas más o menos equivalentes. Los grafos expansores tienen conexiones con muchos campos dentro y fuera de las matemáticas.

La aplicación inicial de los grafos expansores tiene interés histórico (pues la gente que trabaja en telecomunicaciones la aplicó en su propio campo, en parte de forma empírica). Sin embargo, los grafos expansores han demostrado ser una abstracción fructífera, con nuevas aplicaciones. Se trata tanto de aplicaciones tanto a la computación como a la matemática en sí. En el pasado, se aplicaban ya conocimientos profundos dentro de la matemática pura para construir grafos expansores; en nuestros días, se llegan a utilizar los grafos expansores para resolver problemas en la matemática pura.

Veremos una aplicación reciente a la teoría de números - fruto de mi trabajo conjunto con M. Radziwiłł (Caltech). Uno puede construir un grafo con números enteros como vértices, y con aristas que corresponden a divisores comunes a dos vértices. Probar que tal grafo es un grafo expansor (con una definición ligeramente modificada) resulta ser una tarea complicada, que incluye paseos aleatorios, y teoría de números y de grafos. Analizaremos los resultados de forma superficial. Al final, una vez establecido lo que es un grafo expansor, obtendremos varios resultados nuevos sobre problemas clásicos de los números, en los cuales no hay mención de grafos expansores, y en donde hasta hace poco no se veía una conexión.